Chapitre 08
Équations 1

Savoir-faire de ce chapitre
N70Produire et utiliser une expression littérale.
N74Résoudre une équation du premier degré.
Montrer les rappels
R.I
Tester une égalité
Définition 1
Une égalité est composée de deux membres séparés par le symbole =.
Pour que l'égalité soit dite vraie (ou vérifiée), il faut que les deux membres aient la même valeur. Dans le cas contraire, elle est dite fausse.
Exemple 1
Tester si l'égalité 3x-5=9-x est vraie pour x=2 puis pour x=3,5.
Pour x=2 :
  • d'une part, le premier membre vaut ...3×2-5=6-5=1 ;
  • d'autre part, le second membre vaut ...9-2=7.
Comme les deux membres ...n'ont pas la même valeur, l'égalité est ...fausse.
Pour x=3,5 :
  • d'une part, le premier membre vaut ...3×3,5-5=10,5-5=5,5 ;
  • d'autre part, le second membre vaut ...9-3,5=5,5.
Comme les deux membres ...ont la même valeur, l'égalité est ...vraie.
R.II
Distributivité simple
R.1
Développer
Définition 2
Développer un produit signifie l'écrire sous la forme d'une somme ou d'une différence.
Propriété 1
Soient k, a et b trois nombres relatifs. On a :
k×(a+b)=k×a+k×b
Autrement dit, en simplifiant l'écriture, k(a+b)=ka+kb.
Exemple 2
  • 2×(3+5x)= ...2×3+2×5x=6+10x
  • 5y(3-2y)= ...5y×3-5y×2y=15y-10y2
R.2
Factoriser, réduire
Définition 3
Factoriser une somme ou une différence signifie l'écrire sous la forme d'un produit.
Remarque 1
C'est donc l'opération "inverse" du développement.
Propriété 2
Soient k, a et b trois nombres relatifs. On a :
k×a+k×b=k×(a+b)
Autrement dit, en simplifiant l'écriture, ka+kb=k(a+b).
Exemple 3
  • 5x+5y= ...5×x+5×y=5×(x+y)
  • 3b-5b= ...3×b-5×b=(3-5)×b=(-2)×b
  • 3x2-x= ...x×3x-x×1=x×(3x-1)
Définition 4
Réduire une expression littérale, cela consiste à effectuer la somme algébrique des termes "de même nature", afin d'écrire cette expression avec le moins de termes possibles.
Exemple 4
  • 5x-2+3x+7= ...5x+(-2)+3x+7=5x+3x+(-2)+7=8x+5 ;
    On a regroupé d'une part les "termes en x", d'autre part les "termes constants".
  • 5x2+x-7x2+5x-11= ...5x2-7x2+x+5x-11=-2x2-6x-11 ;
    On a regroupé entre eux les "termes en x2", les "termes en x", et enfin les "termes constants".
R.III
Distributivité double
Propriété 3
Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs. On a :
(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d
Autrement dit, en simplifiant l'écriture, (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Exemple 5
(x+2)(x+5)... = x×x+x×5+2×x+2×5
 = ...x2+5x+2x+10
 = ...x2+7x+10
(3x+2)(x-6) = ...3x×x+3x×(-6)+2×x+2×(-6)
 = ...3x2-18x+2x-12
 = ...3x2-16x-12
I
Équations du premier degré
Définition 1
Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l'équation. Une solution de cette équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie. Résoudre une équation, c'est en trouver toutes les solutions.
Exemple 1
3x-7=5 est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe =) est 3x-7, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe =) est 5.
Propriété 1
Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s'assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l'équation initiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition :
Exemple 2
L'équation 9x-8=34+2x est une équation du premier degré. Résolvons-la :