Chapitre 12
Trigonométrie

Savoir-faire de ce chapitre
G43Connaître et utiliser le résultat de la somme des angles dans un triangle*
G48Connaître et utiliser la trigonométrie
Montrer les rappels
R.I
Cosinus d'un angle aigu
Définition 1
Dans un triangle rectangle, un angle aigu possède deux côtés : l'un d'eux est l'hypoténuse, l'autre est le côté adjacent à l'angle ABC^. Le rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle ABC^ (le côté [BA]) et de la longueur de l'hypoténuse (le côté [BC]) ne dépend que de l'angle ABC^.
Ce rapport est appelé cosinus de l'angle ABC^, et on le note cos(ABC^). On a ainsi : cosABC^=Côté adjacent à l'angle ABC^Hypothénuse=BABC
R.II
Cosinus et calculatrice
R.1
Valeur approchée du cosinus d'un angle donné
Par exemple, pour calculer une valeur approchée du cosinus d'un angle de 20°, on tape la séquence suivante :
cos
2
0
EXE
. Ce qui donne à l'écran :
cos(20)
0,939 692 620 8
R.2
Valeur approchée d'un angle dont le cosinus est donné
Par exemple, pour calculer une valeur approchée de l'angle dont le cosinus est 0,75, on tape la séquence suivante :
2nde
cos
0
,
7
5
EXE
. Ce qui donne à l'écran :
arccos-1(0,75)
41,409 622 11
R.III
Utiliser le cosinus
R.1
Pour déterminer la mesure d'un angle
Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC=10 cm et BA=7,5 cm. Calculer une valeur arrondie au dixième de degré de la mesure de l'angle ABC^.

Solution : ...ABC est un triangle rectangle en A ; [BC] est l'hypoténuse et [BA] est le côté adjacent à l'angle ABC^. On a donc : cos(ABC^)=BABC.
En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs :
cos(ABC^)=7,510=0,75
L'angle dont le cosinus vaut 0,75 mesure environ 41,4°.
R.2
Pour déterminer la longueur d'un côté
Pour calculer la longueur du côté adjacent :
Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC=6 cm et ABC^=35∘. Calculer une valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [AB].

Solution : ...ABC est un triangle rectangle en A ; [BC] est l'hypoténuse et [BA] est le côté adjacent à l'angle ABC^. On a donc : cos(ABC^)=BABC.
En remplaçant les mesures connues par leurs valeurs :
cos(35∘)=BA6
Ce qui est équivalent à :
BA=6×cos(35)≈4,9 cm
Le segment [BA] mesure approximativement 4,9 cm.
Pour calculer la longueur de l'hypoténuse :
Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BA=4 cm et ABC^=54∘. Calculer une valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [BC].

Solution : ...ABC est un triangle rectangle en A ; [BC] est l'hypoténuse et [BA] est le côté adjacent à l'angle ABC^. On a donc : cos(ABC^)=BABC.
En remplaçant les mesures connues par leurs valeurs :
cos(54∘)=4BC
Ce qui est équivalent à :
BC=4cos(54∘)≈6,8 cm
Le segment [BC] mesure approximativement 6,8 cm.
I
Cosinus, Sinus, Tangente
Définition 1
Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle aigu ABC^ de la manière suivante :

Remarque 1
Il n'est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus. Il est donc astucieux de trouver un moyen mnémotechnique pour les retenir. En voici déjà trois : À vous de choisir ou d'en inventer d'autres...
Remarque 2
La calculatrice dispose des touches
cos
,
sin
et
tan
mais aussi des fonctions
[arccos]
,
[arcsin]
et
[arctan]
.
Exercice 1 [Détermination de la mesure d'un angle]
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=5 cm et AC=7 cm.
Calculer la mesure de l'angle ABC^ arrondie à l'unité.
Solution :
...Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
tanABC^=ACAB=75=1,4
Ainsi, ABC^≈54∘.
Exercice 2 [Détermination de la longueur d'un côté]
DEF est un triangle rectangle en D tel que DF=5 cm et DEF^=30∘.
Calculer la longueur EF.
Solution :
...Dans le triangle DEF rectangle en D, on a :
sinDEF^=DFEF
Ainsi, EF=DFsinDEF^=5sin(30)=10 cm.
II
Relations trigonométriques
Propriété 1
Pour toute valeur de x, on a : tan(x)=sin(x)cos(x).
Propriété 2
Pour toute valeur de x, on a : cos(x)2+sin(x)2=1.