Chapitres vu précédemment en lien avec celui-ci :

Chapitre 13
Équations 2

Savoir-faire de ce chapitre
N72	Factoriser une expression littérale*
N73	Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat*
N75	Étudier des problèmes qui se ramènent au premier degré

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R.I

Équations du premier degré

Définition 1

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l'équation. Une solution de cette équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie. Résoudre une équation, c'est en trouver toutes les solutions.

Exemple 1

3 x - 7 = 5

est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe

=

) est

3 x - 7

, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe

=

) est 5.

4 ...est une solution de l'équation $3 x - 7 = 5$ car, lorsque je remplace l'inconnue $x$ par 4 dans l'équation, l'égalité ...est vérifiée : ... $3 \times 4 - 7 = 12 - 7 = 5$ ;
2 ...n'est pas une solution de l'équation $3 x - 7 = 5$ car, lorsque je remplace $x$ par 2, l'égalité ...n'est pas vérifiée : ... $3 \times 2 - 7 = 6 - 7 = - 1 \neq 5$ .

Propriété 1

Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s'assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l'équation initiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition :

Règle n°1 : On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation en additionnant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres de l'équation.
Règle n°2 : On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l'équation par un même nombre non nul.

Exemple 2

L'équation

9 x - 8 = 34 + 2 x

est une équation du premier degré. Résolvons-la :

En utilisant la ...règle 1, on voit que l'on peut ...additionner 8 aux deux membres de l'équation :
... $9 x - 8 + 8 = 34 + 2 x + 8$ , c'est-à-dire ... $9 x = 42 + 2 x$ ;
En utilisant la ...règle 1, on voit que l'on peut ...soustraire $2 x$ aux deux membres de l'équation :
... $9 x - 2 x = 42 + 2 x - 2 x$ , c'est-à-dire ... $7 x = 42$ ;
En utilisant la ...règle 2, on voit que l'on peut ...diviser par 7 chaque membre de l'équation :
... $7 x \div 7 = 42 \div 7$ , c'est-à-dire ... $x = 6$ ;
On conclut par une phrase : l'équation $9 x - 8 = 34 + 2 x$ admet une unique solution, qui est ...6.

Équations-produit

Définition 1

Une équation-produit est une équation qui s'écrit sous la forme

(a x + b) (c x + d) = 0

.
Il peut y avoir plus de deux facteurs.

Propriété 1

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. Autrement dit, dire que "

A \times B = 0

" équivaut à dire que "

A = 0

B = 0

Exemple 1

Résolvons l'équation

(3 x - 7) (2 x + 5) = 0

.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.

$3 x - 7 = 0$	ou	$2 x + 5 = 0$
... $3 x = 7$	ou	... $2 x = - 5$
... $x = \frac{7}{3}$	ou	... $x = - \frac{5}{2}$

Ainsi, l'équation

(3 x - 7) (2 x + 5) = 0

admet deux solutions qui sont

\frac{7}{3}

- \frac{5}{2}

Équations et factorisation

Pour résoudre une équation, il faut parfois factoriser l'expression pour la transformer en équation-produit.

Définition 2

Factoriser une expression, c'est écrire l'expression sous la forme d'un produit.

Exemple 2

3 x^{2} - 6 x = 0

3 x \times x - 3 x \times 2 = 0

3 x \times (x - 2) = 0

Donc

3 x^{2} - 6 x = 0

si et seulement si

3 x = 0

x - 2 = 0

.
Les solutions sont donc

x = 0

x = 2

Exemple 3

(x + 3) (x + 2) - 4 (x + 2) = 0

(x + 2) [(x + 3) - 4] = 0

(x + 2) (x - 1) = 0

Donc

(x + 3) (x + 2) - 4 (x + 2) = 0

si et seulement si

x + 2 = 0

x - 1 = 0

.
Les solutions sont donc

x = - 2

x = 1

Exemple 4

(3 x - 4)^{2} - (3 x - 4) (x - 5) = 0

(3 x - 4) (3 x - 4) - (3 x - 4) (x - 5) = 0

(3 x - 4) [(3 x - 4) - (x - 5)] = 0

(3 x - 4) (3 x - 4 - x + 5) = 0

(3 x - 4) (2 x + 1) = 0

Donc

(x + 3) (x + 2) - 4 (x + 2) = 0

si et seulement si

3 x - 4 = 0

2 x + 1 = 0

Les solutions sont donc

x = \frac{4}{3}

x = - \frac{1}{2}

Propriété 2

Pour factoriser une expression, il faut parfois utiliser l'identité

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Exemple 5

On veut factoriser l'expression

25 x^{2} - 49

pour résoudre l'équation

25 x^{2} - 49 = 0

.
On voit que

25 x^{2}

est le carré de

5 x

; 49 est le carré de 7.
De plus,

25 x^{2} - 49

est la différence de deux carrés.
Or

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

donc :

25 x^{2} - 49 =

(5 x + 7) (5 x - 7)

Donc

25 x^{2} - 49 = 0

si et seulement si

5 x + 7 = 0

5 x - 7 = 0

Les solutions sont donc

x = - \frac{7}{5}

x = \frac{7}{5}

III

Équations x² = a

Propriété 3

Les solutions d'une équation du type

x^{2} = a

(

a

étant connu) dépendent de la valeur de

a

Si $a > 0$ , il y a deux solutions : $x = - \sqrt{a}$ et $x = \sqrt{a}$ ;
Si $a = 0$ , il n'y a qu'une seule solution : $x = 0$ ;
Si $a < 0$ , il n'y a pas de solution réelle.

Exemple 6

L'équation $x^{2} = 36$ possède deux solutions : ... $x = - \sqrt{36} = - 6$ et ... $x = \sqrt{36} = 6$ .
L'équation $x^{2} = - 25$ ne possède pas de solutions.

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Chapitre 13
Équations 2