Chapitres vu précédemment en lien avec celui-ci :

Cinquième : Calcul littéral

Chapitre 07
Calcul littéral

Savoir-faire de ce chapitre
N70	Produire une expression littérale*
N71	Développer et réduire une expression littérale
N72	Factoriser une expression littérale
N73	Utiliser le calculer littéral pour prouver un résultat

Montrer les rappels

R.I

Expressions littérales

Définition 1

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par des lettres.

Exemple 1

Le périmètre d'un losange de côté $c$ est donné par l'expression littérale ... $4 \times c$ .
Si ce losange a un côté mesurant 6 cm, alors son périmètre sera de ... $4 \times 6 = 24$ cm.
Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ est donné par l'une des deux expressions littérales suivantes : ... $2 \times (L + l)$ ou ... $2 \times L + 2 \times l$ .
Si la longueur de ce rectangle vaut 8 cm, et sa largeur 5 cm, alors son périmètre sera de ... $2 \times 8 + 2 \times 5 = 16 + 10 = 26$ cm. (ou ... $2 \times (8 + 5) = 2 \times 13 = 26$ cm).

R.II

Simplifier l'écriture d'une expression littérale

Propriété 1

Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le signe "

\times

" :

devant une lettre,
devant une parenthèse.

Exemple 2

$2 \times y$ s'écrira ... $2 y$ ;
$a \times 3$ s'écrira ... $3 a$ ;
$2 \times (x + 1)$ s'écrira ... $2 (x + 1)$ ;
$3 \times (5 - a)$ s'écrira ... $3 (5 - a)$ ;
$2 \times 5$ s'écrira ...10, mais pas 25 !.

Propriété 2

Le produit $a \times a$ s'écrit $a^{2}$ , et se prononce " $a$ au carré".
Le produit $a \times a \times a$ s'écrit $a^{3}$ , et se prononce " $a$ au cube".

Exemple 3

$3 \times 3$ s'écrira ... $3^{2}$ ;
$5 \times 5 \times 5$ s'écrira ... $5^{3}$ ;
$x \times x$ s'écrira ... $x^{2}$ ;
$u \times u \times u$ s'écrira ... $u^{3}$ ;
$8 \times 8 \times c \times c \times c$ s'écrira ... $8^{2} c^{3}$ ;
$2 \times y \times 2 \times y \times y$ s'écrira ... $2^{2} y^{3}$ .

R.III

Tester une égalité

Définition 2

Une égalité est composée de deux membres séparés par le symbole =.
Pour que l'égalité soit dite vraie (ou vérifiée), il faut que les deux membres aient la même valeur. Dans le cas contraire, elle est dite fausse.

Exemple 4

Tester si l'égalité

3 x - 5 = 9 - x

est vraie pour

x = 2

puis pour

x = 3,5

.
Pour

x = 2

d'une part, le premier membre vaut ... $3 \times 2 - 5 = 6 - 5 = 1$ ;
d'autre part, le second membre vaut ... $9 - 2 = 7$ .

Comme les deux membres n'ont pas la même valeur, l'égalité est fausse.
Pour

x = 3,5

d'une part, le premier membre vaut ... $3 \times 3,5 - 5 = 10,5 - 5 = 5,5$ ;
d'autre part, le second membre vaut ... $9 - 3,5 = 5,5$ .

Comme les deux membres ont la même valeur, l'égalité est vraie.

Distributivité simple

Développer

Définition 1

Développer un produit signifie l'écrire sous la forme d'une somme ou d'une différence.

Propriété 1

Soient

k

a

b

trois nombres relatifs. On a :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b

Autrement dit, en simplifiant l'écriture,

k (a + b) = k a + k b

Exemple 1

$2 \times (3 + 5 x) =$ ... $2 \times 3 + 2 \times 5 x = 6 + 10 x$
$5 y (3 - 2 y) =$ ... $5 y \times 3 - 5 y \times 2 y = 15 y - 10 y^{2}$

Factoriser, réduire

Définition 2

Factoriser une somme ou une différence signifie l'écrire sous la forme d'un produit.

Remarque 1

C'est donc l'opération "inverse" du développement.

Propriété 2

Soient

k

a

b

trois nombres relatifs. On a :

k \times a + k \times b = k \times (a + b)

Autrement dit, en simplifiant l'écriture,

k a + k b = k (a + b)

Exemple 2

$5 x + 5 y =$ ... $5 \times x + 5 \times y = 5 \times (x + y)$
$3 b - 5 b =$ ... $3 \times b - 5 \times b = (3 - 5) \times b = (- 2) \times b$
$3 x^{2} - x =$ ... $x \times 3 x - x \times 1 = x \times (3 x - 1)$

Définition 3

Réduire une expression littérale, cela consiste à effectuer la somme algébrique des termes "de même nature", afin d'écrire cette expression avec le moins de termes possibles.

Exemple 3

$5 x - 2 + 3 x + 7 =$ ... $5 x + (- 2) + 3 x + 7 = 5 x + 3 x + (- 2) + 7 = 8 x + 5$ ;
On a regroupé d'une part les "termes en $x$ ", d'autre part les "termes constants".
$5 x^{2} + x - 7 x^{2} + 5 x - 11 =$ ... $5 x^{2} - 7 x^{2} + x + 5 x - 11 = - 2 x^{2} - 6 x - 11$ ;
On a regroupé entre eux les "termes en $x^{2}$ ", les "termes en $x$ ", et enfin les "termes constants".

Distributivité double

Propriété 3

Soient

a

b

c

d

quatre nombres relatifs. On a :

(a + b) \times (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d

Autrement dit, en simplifiant l'écriture,

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Exemple 4

● $(x + 2) (x + 5)$	... $=$	$x \times x + x \times 5 + 2 \times x + 2 \times 5$
	$=$	... $x^{2} + 5 x + 2 x + 10$
	$=$	... $x^{2} + 7 x + 10$

● $(3 x + 2) (x - 6)$	$=$	... $3 x \times x + 3 x \times (- 6) + 2 \times x + 2 \times (- 6)$
	$=$	... $3 x^{2} - 18 x + 2 x - 12$
	$=$	... $3 x^{2} - 16 x - 12$

Chapitre 07Calcul littéral

Chapitre 07
Calcul littéral