Chapitres vu précédemment en lien avec celui-ci :

Chapitre 08
Équations 1

Savoir-faire de ce chapitre
N70	Produire et utiliser une expression littérale
N71	Développer et réduire une expression littérale*
N74	Résoudre une équation du premier degré

Montrer les rappels

R.I

Tester une égalité

Définition 1

Une égalité est composée de deux membres séparés par le symbole =.
Pour que l'égalité soit dite vraie (ou vérifiée), il faut que les deux membres aient la même valeur. Dans le cas contraire, elle est dite fausse.

Exemple 1

Tester si l'égalité

3 x - 5 = 9 - x

est vraie pour

x = 2

puis pour

x = 3,5

.
Pour

x = 2

d'une part, le premier membre vaut ... $3 \times 2 - 5 = 6 - 5 = 1$ ;
d'autre part, le second membre vaut ... $9 - 2 = 7$ .

Comme les deux membres n'ont pas la même valeur, l'égalité est fausse.
Pour

x = 3,5

d'une part, le premier membre vaut ... $3 \times 3,5 - 5 = 10,5 - 5 = 5,5$ ;
d'autre part, le second membre vaut ... $9 - 3,5 = 5,5$ .

Comme les deux membres ont la même valeur, l'égalité est vraie.

R.II

Distributivité simple

R.1

Développer

Définition 2

Développer un produit signifie l'écrire sous la forme d'une somme ou d'une différence.

Propriété 1

Soient

k

a

b

trois nombres relatifs. On a :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b

Autrement dit, en simplifiant l'écriture,

k (a + b) = k a + k b

Exemple 2

$2 \times (3 + 5 x) =$ ... $2 \times 3 + 2 \times 5 x = 6 + 10 x$
$5 y (3 - 2 y) =$ ... $5 y \times 3 - 5 y \times 2 y = 15 y - 10 y^{2}$

R.2

Factoriser, réduire

Définition 3

Factoriser une somme ou une différence signifie l'écrire sous la forme d'un produit.

Remarque 1

C'est donc l'opération "inverse" du développement.

Propriété 2

Soient

k

a

b

trois nombres relatifs. On a :

k \times a + k \times b = k \times (a + b)

Autrement dit, en simplifiant l'écriture,

k a + k b = k (a + b)

Exemple 3

$5 x + 5 y =$ ... $5 \times x + 5 \times y = 5 \times (x + y)$
$3 b - 5 b =$ ... $3 \times b - 5 \times b = (3 - 5) \times b = (- 2) \times b$
$3 x^{2} - x =$ ... $x \times 3 x - x \times 1 = x \times (3 x - 1)$

Définition 4

Réduire une expression littérale, cela consiste à effectuer la somme algébrique des termes "de même nature", afin d'écrire cette expression avec le moins de termes possibles.

Exemple 4

$5 x - 2 + 3 x + 7 =$ ... $5 x + (- 2) + 3 x + 7 = 5 x + 3 x + (- 2) + 7 = 8 x + 5$ ;
On a regroupé d'une part les "termes en $x$ ", d'autre part les "termes constants".
$5 x^{2} + x - 7 x^{2} + 5 x - 11 =$ ... $5 x^{2} - 7 x^{2} + x + 5 x - 11 = - 2 x^{2} - 6 x - 11$ ;
On a regroupé entre eux les "termes en $x^{2}$ ", les "termes en $x$ ", et enfin les "termes constants".

R.III

Distributivité double

Propriété 3

Soient

a

b

c

d

quatre nombres relatifs. On a :

(a + b) \times (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d

Autrement dit, en simplifiant l'écriture,

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Exemple 5

● $(x + 2) (x + 5)$	... $=$	$x \times x + x \times 5 + 2 \times x + 2 \times 5$
	$=$	... $x^{2} + 5 x + 2 x + 10$
	$=$	... $x^{2} + 7 x + 10$

● $(3 x + 2) (x - 6)$	$=$	... $3 x \times x + 3 x \times (- 6) + 2 \times x + 2 \times (- 6)$
	$=$	... $3 x^{2} - 18 x + 2 x - 12$
	$=$	... $3 x^{2} - 16 x - 12$

Équations du premier degré

Définition 1

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, représenté par une lettre, appelée inconnue de l'équation. Une solution de cette équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie. Résoudre une équation, c'est en trouver toutes les solutions.

Exemple 1

3 x - 7 = 5

est une équation, dont le premier membre (ce qui est à gauche du signe

=

) est

3 x - 7

, et dont le second membre (ce qui est à droite du signe

=

) est 5.

4 ...est une solution de l'équation $3 x - 7 = 5$ car, lorsque je remplace l'inconnue $x$ par 4 dans l'équation, l'égalité ...est vérifiée : ... $3 \times 4 - 7 = 12 - 7 = 5$ ;
2 ...n'est pas une solution de l'équation $3 x - 7 = 5$ car, lorsque je remplace $x$ par 2, l'égalité ...n'est pas vérifiée : ... $3 \times 2 - 7 = 6 - 7 = - 1 \neq 5$ .

Propriété 1

Pour résoudre une équation, nous aurons besoin de la transformer, tout en s'assurant que la nouvelle équation obtenue après transformation possède exactement les mêmes solutions que l'équation initiale. Pour ce faire, nous avons deux règles à notre disposition :

Règle n°1 : On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation en additionnant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres de l'équation.
Règle n°2 : On ne change pas l'ensemble des solutions d'une équation en multipliant (ou divisant) les deux membres de l'équation par un même nombre non nul.

Exemple 2

L'équation

9 x - 8 = 34 + 2 x

est une équation du premier degré. Résolvons-la :

En utilisant la ...règle 1, on voit que l'on peut ...additionner 8 aux deux membres de l'équation :
... $9 x - 8 + 8 = 34 + 2 x + 8$ , c'est-à-dire ... $9 x = 42 + 2 x$ ;
En utilisant la ...règle 1, on voit que l'on peut ...soustraire $2 x$ aux deux membres de l'équation :
... $9 x - 2 x = 42 + 2 x - 2 x$ , c'est-à-dire ... $7 x = 42$ ;
En utilisant la ...règle 2, on voit que l'on peut ...diviser par 7 chaque membre de l'équation :
... $7 x \div 7 = 42 \div 7$ , c'est-à-dire ... $x = 6$ ;
On conclut par une phrase : l'équation $9 x - 8 = 34 + 2 x$ admet une unique solution, qui est ...6.

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Équations 1