Quelle drôle de prison

Comme j’ai adoré cet atelier proposé dans le cadre des journées virtuelles « En attendant Bourges » de l’APMEP, je souhaite partager ici ce que j’y ai appris… Tout d’abord, voici la fiche de présentation de l’atelier « Quelle drôle de prison », proposé par Arnaud Chéritat, mathématicien, directeur de recherche au CNRS Institut de mathématiques et vice président de « Les Maths en Scène » :

La situation est donc la suivante :

« La fenêtre d’une prison est composée de 4 barreaux. Le prisonnier doit s’y attacher en passant autour des différents barreaux de son choix (et autant de fois qu’il le désire) tant qu’il est réellement attaché au final. Puis, vient le gardien qui va scier l’un des quatre barreaux… Le but étant de réussir à trouver une situation qui entrainera la libération du prisonnier peu importe le barreau scié… »

Photo provisoire, en attendant quelque chose de meilleure qualité…

Après avoir expliqué rapidement le principe, Arnaud a introduit les notations que l’on pouvait utiliser pour modéliser la situation. Il s’agit alors de nommer chaque barreau par une lettre (A, B, C ou D) et de noter les lettres correspondantes dans une phrase à chaque fois que la chaîne passe derrière le barreau correspondant. On ajoute aussi une flèche au dessus de la lettre en fonction du sens de passage de la chaîne. Par exemple :

Il est parfois possible de simplifier la phrase modélisée (comme le noeud se simplifiera dans la réalité). En effet, le fait de passer derrière un barreau dans un sens puis immédiatement ensuite dans l’autre sens ne crée pas de noeud. On peut donc chercher cette situation dans la phrase modélisée pour la simplifier :

On constate ainsi ici que si l’on supprime le barreau B de la prison, le prisonnier sera libéré car on obtiendra alors la situation d’annulation avec le barreau A… Voici un autre exemple donné par Arnaud sur une phrase plus longue au départ :

Enfin, Arnaud a expliqué comment trouver mathématiquement les « noeuds magiques », c’est à dire les noeuds qui permettent d’être libéré à coup sûr peu importe le barreau supprimé par le geôlier.

Dans le cas à deux barreaux, il suffit de passer autant de fois dans les deux sens derrière le barreau A et autant de fois dans les deux sens derrière le barreau B. Voici un exemple possible de noeud garantissant la libération du prisonnier :

Pour la solution à trois barreaux, Arnaud a introduit les « commutateurs » :

Enfin, en suivant la même méthode, on peut construire une solution au problème pour quatre barreaux : [D, [C, E]] qui contient 22 passages. Cependant, la solution qui demandera le moins de passages (16 exactement) est la suivante : [[A, B], [C, D]] :

Un grand merci Arnaud, Les Maths en Scène plus généralement et l’APMEP pour cet atelier auquel j’ai assisté par curiosité mais que j’ai trouvé tout simplement excellent ! Je n’ai plus qu’une envie, fabriquer cette prison pour faire l’activité avec les élèves… mais, n’étant pas bricoleur, je ne garantis pas qu’elle sera aussi belle que celles que nous avons vu !

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