Mathématiques

Introduire la notion de fonction

Depuis plusieurs années, j’utilise une animation réalisée sous PowerPoint pour travailler le vocabulaire “antécédent” et “image”. Le problème étant que je ne pouvais pas changer les valeurs facilement car il fallait déplacer la languette contenant les valeurs pour modifier la valeur puis la replacer au bon endroit…

J’ai donc eu l’idée d’utiliser Genial.ly pour réaliser cette animation tout en me laissant la possibilité de changer les valeurs simplement en éditant deux listes (celle des antécédents et celle des images) :

Une seule diapo avec deux listes à modifier (antécédents et images)

La tâche ne fut pas facile mais j’ai été super bien guidé par Patrice Nadam de S’Cape que je remercie grandement ici. Il faut dire qu’il s’y connait plutôt pas mal maintenant comme en témoignent toutes les extensions que le collectif propose pour rendre Genial.ly encore plus ludique… Voilà le rendu de l’animation si vous voulez tester en direct :

https://view.genial.ly/5fba4d5b749f7b0d221a29ac

Le fait d’utiliser l’animation et la modélisation de la fonction sous la forme d’une “boîte magique” permet tout d’abord d’introduire la façon de noter les relations entre un nombre et son image car les élèves doivent trouver eux-même un moyen prendre en note ce qui défile. Généralement, je peux rebondir sur l’utilisation du signe “=”, de la flèche “->” ou encore sur la notation sous forme d’un tableau en utilisant les productions des élèves.

Ensuite, elle permet aussi de travailler le vocabulaire “image” et “antécédent” sans s’attacher à la représentation de la fonction en posant de simples questions après le visionnage : “Quelle est l’image de 7 ?” ou “Quels sont les antécédents de 4 ?”. Avec des valeurs bien choisies au départ, les élèves doivent réfléchir et s’approprier le vocabulaire.

Dans un dernier temps, il est aussi possible de demander aux élèves de trouver la bonne formule algébrique de cette fonction parmi plusieurs propositions…

Et, comme je veux bien partager ce travail, je l’ai évidement paramétré en “réutilisable” donc vous pourrez le récupérer sur votre propre compte et l’utiliser avec vos propres valeurs… Pour cela, il vous suffira de cliquer sur ce lien.

Attention à ne pas supprimer les éléments qui sont tous importants : les deux listes “antecedents” et “images”, les deux champs “??” sur la bande grise, les boutons “précédent” et “suivant”, et le bloc “Programme” contenant le programme Javascript.

Suite à la publication de cet article sur Twitter, @mathasius a partagé cette excellente ressource “Constructeur de fonctions” du site PhET que je ne connaissais pas :

https://phet.colorado.edu/sims/html/function-builder/latest/function-builder_fr.html
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L’art de l’illusion géométrique de Go Segawa

Je ne pensais pas que je viendrais à parler d’art sur ce blog… Mais vous allez voir qu’on ne s’éloigne pas tant que ça des mathématiques…

Aujourd’hui, avec ma femme, nous sommes allé visité l’exposition “Visual space” de l’artiste Go Segawa (page Facebook) à l’espace culturel La Laverie de la Ferté Bernard. Peut-être la dernière sortie avant un nouveau confinement et elle valait bien le coup car on en prend plein les yeux.

Même si je vais partager quelques photos, je ne peux que conseiller d’aller voir cette exposition pour pouvoir tourner autour des oeuvres et les découvrir dans tous les sens… Pour résumer le travail de Go Segawa, artiste japonais installé en France, il joue sur la perception dans l’espace. Partant d’oeuvres dessinées en 2D sur des plaques de plexiglas, il donne vie à des sculptures en relief en les entrecroisant…

Jusqu’au 27 novembre 2020, si l’actualité n’en décide autrement, vous pourrez admirer par exemple la pièce maitresse de l’exposition intitulée “La main” (qui mesure près de 2 mètres de longueur) :

Voici une autre oeuvre, plus mathématique, que j’ai trouvé aussi très agréable à regarder :

Ce qui est vraiment interessant, c’est de se laisser surprendre par les illusions et d’observer ces solides fabriqués par l’esprit grâce au talent de Go Segawa :

Mais, il y a beaucoup plus à découvrir… On se laisse surprendre à imaginer des matières duveteuses ou des solides en lévitation. En voici quelques photos (dont j’espère que la qualité ne gâchera pas les oeuvres originales) :

Mais, là où il y a encore plus de magie, c’est que toutes ces oeuvres (à part la main gigantesque) se replie et se déplie à volonté…

Si vous avez la chance de pouvoir aller voir l’exposition, n’hésitez pas ! De nombreuses autres oeuvres sont exposées et même pour celles que j’ai immortalisé, cela vaut le coup d’aller tromper soi-même son esprit face aux illusions… Nous avons de plus un très bon accueil et d’excellentes explications lors de notre passage. Je parie que vous ressortirez certainement en vous disant : “C’est quand même beau, la géométrie…”. De mon côté, j’ai craqué pour cette oeuvre (en petit volume) limitée à 50 exemplaires :

Green in Sphere de Go Segawa, impression jet d’encre sur polyester

C’est vraiment trop beau !

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Shut the box, entre hasard et calcul

Suite à un tweet de Charivari, j’ai découvert le jeu “Shut the box” et les nombreuses adaptations que l’on peut faire en classe :

Est-ce qu’il y a ici des collègues de cycle 2 (ou 3) qui font jouer leurs élèves à shut the box ?

Quelle règle utilisez-vous ? Peut-on décomposer en 3 (10 = 2+3+5) ? Rejoue-t-on tant qu’on peut ou bien joue-t-on chacun son tour ? @TrouillotEric @MathsMhm @claire_lomme

Charivari choyée (@Charivari1) le 25 Octobre 2020.

Pour ceux qui ne connaissent pas encore, voici les règles du jeu :

Shut The Box se joue avec 2 dés et le plateau de jeu contenant des boîtes numérotées de 1 à 12.
À chaque lancer des 2 dés, le joueur doit fermer des boîtes grâce à son tirage :
- soit 1 boîte correspondant à la somme des valeurs des 2 dés ;
- soit 2 ou 3 boîtes en décomposant la somme des valeurs des 2 dés (par exemple, 10 = 3 + 7 ou 10 = 1 + 4 + 5).
Si le joueur ne peut fermer aucune nouvelle boîte, son tour s'arrête et son score est égal à la somme des valeurs des boîtes non fermées.
Le joueur ayant obtenu le plus petit score gagne la partie.

Etant pressé d’y jouer et n’ayant pas le jeu à disposition, j’ai créé cette version papier (que l’on peut plastifier) sobrement intitulé “Tick The Box” :

Lien de téléchargement en fin d’article…

Et pour donner une réglette à chaque élève afin de pouvoir jouer en classe entière avec un même tirage simultané, voici une autre disposition :

Lien de téléchargement en fin d’article…

Et pour s’amuser sans matériel, ni papier ni dés, j’ai développé une version numérique du jeu (simple et fonctionnelle). Il y a même la vérification des coups joués et la détection de fin de partie :

Belle partie non ?

A vous de jouer :

https://www.desmaths.fr/jeux/trac/

Pour ceux qui veulent une version libre (sans vérification des coups) pour utiliser leurs propres règles, c’est possible aussi sur ce lien :

https://www.desmaths.fr/jeux/trac/libre.html

Enfin, voici les liens de téléchargement des fichiers présentés dans l’article :

NB : Arnaud (de Mathix.org) avait proposé une version pour jouer à plusieurs sur son site durant l’été dont voici les liens : articlejeu.

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Quelle drôle de prison

Comme j’ai adoré cet atelier proposé dans le cadre des journées virtuelles « En attendant Bourges » de l’APMEP, je souhaite partager ici ce que j’y ai appris… Tout d’abord, voici la fiche de présentation de l’atelier “Quelle drôle de prison”, proposé par Arnaud Chéritat, mathématicien, directeur de recherche au CNRS Institut de mathématiques et vice président de « Les Maths en Scène » :

La situation est donc la suivante :

“La fenêtre d’une prison est composée de 4 barreaux. Le prisonnier doit s’y attacher en passant autour des différents barreaux de son choix (et autant de fois qu’il le désire) tant qu’il est réellement attaché au final. Puis, vient le gardien qui va scier l’un des quatre barreaux… Le but étant de réussir à trouver une situation qui entrainera la libération du prisonnier peu importe le barreau scié…”

Photo provisoire, en attendant quelque chose de meilleure qualité…

Après avoir expliqué rapidement le principe, Arnaud a introduit les notations que l’on pouvait utiliser pour modéliser la situation. Il s’agit alors de nommer chaque barreau par une lettre (A, B, C ou D) et de noter les lettres correspondantes dans une phrase à chaque fois que la chaîne passe derrière le barreau correspondant. On ajoute aussi une flèche au dessus de la lettre en fonction du sens de passage de la chaîne. Par exemple :

Il est parfois possible de simplifier la phrase modélisée (comme le noeud se simplifiera dans la réalité). En effet, le fait de passer derrière un barreau dans un sens puis immédiatement ensuite dans l’autre sens ne crée pas de noeud. On peut donc chercher cette situation dans la phrase modélisée pour la simplifier :

On constate ainsi ici que si l’on supprime le barreau B de la prison, le prisonnier sera libéré car on obtiendra alors la situation d’annulation avec le barreau A… Voici un autre exemple donné par Arnaud sur une phrase plus longue au départ :

Enfin, Arnaud a expliqué comment trouver mathématiquement les “noeuds magiques”, c’est à dire les noeuds qui permettent d’être libéré à coup sûr peu importe le barreau supprimé par le geôlier.

Dans le cas à deux barreaux, il suffit de passer autant de fois dans les deux sens derrière le barreau A et autant de fois dans les deux sens derrière le barreau B. Voici un exemple possible de noeud garantissant la libération du prisonnier :

Pour la solution à trois barreaux, Arnaud a introduit les “commutateurs” :

Enfin, en suivant la même méthode, on peut construire une solution au problème pour quatre barreaux : [D, [C, E]] qui contient 22 passages. Cependant, la solution qui demandera le moins de passages (16 exactement) est la suivante : [[A, B], [C, D]] :

Un grand merci Arnaud, Les Maths en Scène plus généralement et l’APMEP pour cet atelier auquel j’ai assisté par curiosité mais que j’ai trouvé tout simplement excellent ! Je n’ai plus qu’une envie, fabriquer cette prison pour faire l’activité avec les élèves… mais, n’étant pas bricoleur, je ne garantis pas qu’elle sera aussi belle que celles que nous avons vu !

Etiquettes : APMEP ; Ludique ; Mathématiques ; Projets
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Dessiner de jolis azulejos

En parcourant le dernier bulletin de l’APMEP (Au fil des maths n°537), je me suis fortement intéressé à l’article d’Olivier Garrigue intitulé “La magie des azulejos” (les abonnés pourront le retrouver sur ce lien). L’article présente les travaux de l’IREM d’Aix-Marseille sur les azulejos qui ont été rendus possibles grâce à l’étude mathématique et pédagogique préalable de Jorge Rezende.

Dès que j’ai vu l’article, j’ai été fasciné et j’ai souhaité proposer un devoir facultatif aux élèves de cinquième dans lequel ils devraient dessiner leur propre azulejo. Les élèves n’ayant pas suivi le parcours d’étude proposé par l’IREM, je devais trouver un moyen simple d’expliquer ce qu’était un azulejo et comment le construire (de façon concise)…

Mon premier essai en faisant passer les pièces du jeu de société Azul (qui ont le défaut d’être trop symétrique), en vidéo-projetant les différents exemples mis à disposition par l’IREM et en expliquant les différentes contraintes fut un échec cuisant. La tâche leur a paru trop difficile et seuls quelques uns s’y sont intéressés. Profitant du week-end (sic), j’ai donc décidé d’éditer un document plus complet pour donner les consignes et pour aider les élèves dans la phase de construction :

La page de consigne…
Et la page de construction…

La première page a pour objectif d’expliquer ce qu’est un azulejo tout en donnant un exemple et en expliquant les grandes lignes de la construction… Grâce au gabarit que j’ai créé pour l’occasion, les élèves peuvent créer leur motif de couleurs sur les bords de l’azulejo et mieux s’organiser pour les constructions internes. Ils devraient voir plus facilement quand la continuité n’est pas respecté…

Le garabit de 14 cm sur 14 cm (pour un azulejo de 12 cm sur 12 cm)

Je rends les fichiers de cette première version disponibles (en cas d’erreurs, n’hésitez pas à m’en informer) :

Encore merci à Olivier Garrigue et à l’IREM d’Aix-Marseille pour leur partage !

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Hissons les voiles vers le Vendée Globe

La régate virtuelle des scolaires

Cette année, suite à la proposition du collège coordinateur de la classe ULIS, j’ai souhaité proposer à mes classes de cinquième de s’impliquer dans un projet autour de la course nautique du Vendée Globe… Ainsi, les enseignants pourront s’appuyer sur ce projet pour différentes notions et les classes participeront à la course virtuelle des scolaires sur le site Virtual-Regatta.com.

N’y connaissant rien ni à la voile ni au site en question (oui, cela part bien…), je vais m’entrainer avec le prologue du Vendée Globe dont le départ sera lancé ce dimanche 27 septembre :

Paré au départ pour le prologue… Combien de temps avant le naufrage ?

Nous avons commandé gratuitement le kit pédagogique pour nos classes sur le site Initiatives.fr ; ce dernier contient :

Pour trouver d’autres ressources pédagogiques, il est aussi possible de se rendre sur cette partie du site Initiatives : tout est classé par cycle ou par thème. C’est plutôt bien fait…

Autre information importante, vous disposerez pour la classe d’un compte sur le site Virtual-Regatta avec toutes les options premium activées gratuitement (dont un mode “pilote automatique” qui permettra de gérer la course sans devoir faire veiller les élèves la nuit…).

Je compte sur ce voilier géré par la classe entière (prise de commande à tour de rôle) pour renforcer les liens de solidarité et d’entraide mais aussi les phases de discussion et de débat entre les élèves… Nous suivrons notre progression commune sur les temps de vie de classe…

Chacun pourra aussi créer son compte individuellement pour gérer son propre voilier… Il y a fort à parier qu’un esprit de compétition va aussi se créer… D’ailleurs, si vous voulez jouer, n’hésitez pas à participer au prologue. Vous pourrez d’ailleurs me suivre au sein du jeu sous le pseudo “Desmaths.fr”…

Astuce pour créer vos voiliers par classe (surtout si vous en souhaitez plusieurs) :

  • Ouvrir un compte avec votre adresse e-mail académique ;
  • S’inscrire à la course avec le code partenaire “VRACADEMY2020” (permettant d’obtenir tous les bonus et de participer au challenge Initiatives des scolaires).
  • Une fois l’inscription à la course du Vendée Globe avec le code partenaire activée, changer l’adresse e-mail pour une adresse e-mail plus générique que vous aurez ouvert : classeXX@fournisseur.net. Cela évite de donner votre adresse mail aux élèves pour utiliser le compte (et vous permet d’ouvrir autant de comptes scolaires que vous avez de classes en réitérant l’opération).

Dans le cadre de ce projet, j’ai rédigé avec l’aide de mon principal un courrier à destination des parents (collé dans le carnet de correspondance). J’en partage le contenu ici au cas où il puisse servir :

Dans le cadre d’un projet pédagogique, les élèves de 5ème vont pouvoir participer, dans plusieurs disciplines, à la régate virtuelle du Vendée Globe. Ils seront donc amenés à contrôler un voilier virtuel en binômes et à tour de rôle. Pour cela, nous avons créé un compte (entièrement gratuit) pour la classe sur le site https://www.virtualregatta.com/fr/offshore-jeu/ dont les identifiants partagés sont les suivants : classeXX@fournisseur.net ; ******.
Les élèves ne doivent utiliser que l’écran de gestion de la trajectoire du voilier (qui leur a été présenté en classe), et cela uniquement lorsqu’ils sont les capitaines du jour. Il est important de respecter cela pour permettre un pilotage collectif. Ils peuvent le faire du collège ou depuis la maison (si possible). Il est strictement interdit de modifier tout autre paramètre.
Si les élèves voulaient s’engager dans la course avec un voilier individuel (ou familial), la décision vous appartient. Je n’y vois pas d’inconvénient mais la gestion de ces voiliers personnels ne sera jamais faite en classe. Toute la course est réalisable sans le moindre achat sur le site ou dans l’application correspondante.
Le départ est prévu le dimanche 08 novembre 2020. Nous aurons déjà prévu la première trajectoire en classe avec les élèves.

Pris connaissance le :
Signature :

Un espace de travail sur l’ENT

Afin de permettre un échange entres élèves et de rassembler toutes les informations au même endroit, j’ai ouvert des espaces de travail “VENDEE GLOBE – CLASSE” dans notre ENT (e-lyco, porté par itslearning) :

Peu de documents pour le moment mais cela devrait s’étoffer…

Les élèves y retrouveront pour le moment le planning de la capitainerie du mois de Novembre, un tutoriel permettant de rejoindre l’équipe du collège s’ils le désirent, et un espace de partage de leurs différents pseudos s’ils choisissent de jouer aussi à titre individuel… Je rajouterais des documents petit à petit et j’aimerais développer un outil permettant aux capitaines d’indiquer les coordonnées du voiliers à un instant t pour le répercuter sur une carte (avec les différents bateaux à défaut de ne pas pouvoir récupérer ces données automatiquement)…

Des activités proposées par l’académie de Nantes

Je mets à jour cet article pour ajouter des liens vers les activités mathématiques proposées par des enseignants de l’académie de Nantes (Stéphane Percot en tant qu’auteur et Sophie Rivière et Damien Rivière en tant que contributeurs). Tout est accessible grâce à ce lien :

https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/mathematiques/enseignement/activites-pedagogiques/faire-des-mathematiques-avant-pendant-et-apres-le-vendee-globe-2020-1319207.kjsp?RH=1160079471359

Les activités sont classées par niveau (cycle 3, cycle 4 ou lycée) et par thème :

Quelle organisation !

Les documents sont partagés au format docx et pdf ; une raison de plus de sauter sur l’occasion !

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Pour monter en puissance

J’ai terminé les corrections des premières évaluations de l’année sur le calcul numérique en troisième dans lequel j’évaluais la maîtrise des techniques opératoires sur les fractions ainsi que les notions sur les puissances (avec entre autres, l’utilisation de l’écriture scientifique et des exposants négatifs).

Il faut croire que les habitudes de travail (notamment pour l’apprentissage régulier des méthodes et des notions) ne sont pas encore tout à fait revenues étant donné que la plupart des copies ne contenaient que des brides de souvenirs du travail effectué en classe (où tout semblait s’emmêler). Je suis cependant certain qu’ils feront mieux la prochaine fois car ils sont volontaires.

Plus précisément, l’exercice visant à vérifier la bonne compréhension des exposants (positifs ou négatifs) a révélé que les élèves avaient mal retenu la notion et tout signe négatif dans la notation puissance était bon pour passer à l’inverse… Après l’activité qui permettait d’amener cette notion, j’avais pourtant répété de nombreuses fois à l’oral “a exposant -n est l’inverse de a exposant n” comme pour imprégner leur subconscient et on avait même travaillé la simplification d’écriture en utilisant cette même règle. Tous me semblaient à l’aise avec ces écritures sur le temps de classe…

Bref, ce ne fut pas le cas, j’en tire ma part de responsabilité aussi et il fallait que je trouve le moyen de retravailler cette notion sans y perdre énormément de temps tout en permettant à chaque élève de s’améliorer. M’inspirant du principe des rituels à l’entrée de classe pratiqué par Claire Lhomme (oui, encore !), j’ai concocté une vingtaine de cartes sur ce thème et je les ai présenté aux élèves dans le couloir en les accueillant (avec la dose traditionnelle de gel hydro-alcoolique).

La première tentative fut un échec mais je m’en doutais… Le contrôle étant passé, je les voyais mal revoir cette notion eux-mêmes… Par contre, mécontents d’avoir échoué (ils pouvaient gagner 2 points sur leur copie), ils ont souhaité savoir pourquoi leurs réponses étaient fausses (quand d’ordinaire, ils auraient rapidement rangé le contrôle au fond du cahier). J’ai donc pu, de nouveau, ré-expliquer la notion, en leur précisant bien qu’il fallait prendre le temps de la digérer en s’entrainant de nouveau à la maison…

Non content de mes petites cartes, j’ai préparé une version numérique ce matin qui permet de générer aléatoirement ces puissances en forçant l’utilisation d’au moins un signe négatif dans l’écriture (comme c’était cela qui leur poser problème). Cela permettra aussi aux élèves de s’entrainer à la maison :

“Moins et moins, ça donne plus non ?”… Outch, j’ai mal !
https://www.desmaths.fr/jeux/power/

C’est un outil basique donc les puissances générées se limitent aux puissances de 2, 3, 5 et 10 facilement calculables de tête. Les puissances déjà proposées sont sauvegardées jusqu’à actualisation de la page pour éviter de retomber continuellement sur les mêmes… De plus, je viens d’ajouter l’option qui permet d’obtenir le résultat en cliquant sur le calcul pour permettre une vérification plus rapide pour les élèves qui s’entraineraient en autonomie.

En espérant que ce temps sera réellement utile à l’assimilation des élèves…

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Comment j’enseigne les relatifs en 5ème

Aujourd’hui, j’avais envie de partager ma façon d’aborder les relatifs en cinquième. Non pas en guise de modèle mais pour davantage donner ou recevoir des idées… En bref, échanger et partager. D’ailleurs, je ne m’attribue pas du tout les idées partagées aussi car elles sont souvent le fruit de pratiques découvertes au fil des rencontres. On construit toujours mieux à plusieurs que seul…

La découverte

Ma première activité pour introduire les relatifs assez rapidement consiste à demander aux élèves de préparer un bulletin météo avec une carte de France choisie pour l’occasion. Je ne donne pas plus de précisions et j’entends souvent les élèves s’interroger : « Mais c’est pas des maths ça ? » :

Winter is coming…

Une fois que les élèves ont terminé leurs productions (merci aux agendas qui contiennent des cartes de France), les volontaires peuvent passer au tableau pour présenter leur propre bulletin météo. J’ai un petit jingle bien connu pour lancer la présentation et la carte est affichée en grand écran sans les questions. Vous retrouverez les fichiers en bas de l’article.

Les élèves se prennent au jeu en se calquant très bien sur le format habituel (allant jusqu’à l’éphéméride et la durée du jour parfois !) pendant que je relève l’utilisation du vocabulaire et les perles que peuvent contenir leur texte (tant en erreur qu’en bonne idée). Souvent, on peut évoquer le double sens des mots (nul, positif, négatif) et parfois on a déjà des élèves qui introduisent des concepts intéressants : l’écart entre deux températures ou le terme d’opposé… Cette activité me permet vraiment de leur montrer qu’ils en connaissent déjà bien plus qu’ils ne l’imaginaient sur cette « nouvelle » notion.

Le repérage

En ce qui concerne les activités de repérage, j’utilise principalement les outils numériques et le jeu. Avant de passer à la lecture d’axes gradués, quelques lectures de températures sur des thermomètres gradués (exercice classique) permettent d’introduire la notion. Ensuite, en reprenant un outil programmé par Arnaud Durand, on essaie collectivement d’atteindre 10/10 sur cette application web :

On peut augmenter le niveau petit à petit pour différencier…
https://www.desmaths.fr/jeux/reperagerelatifs/

Le lien leur est donné pour qu’ils puissent s’entrainer individuellement en permanence ou à la maison. Ils sont souvent fiers des progrès réalisés.

Une fois le repérage sur un axe correctement acquis, je peux passer au repérage dans un repère. Mon activité favorite est l’utilisation de la bataille navale. On se lance dans une partie géante de démonstration au vidéoprojecteur qui permet d’assimiler le vocabulaire et de bien comprendre le fonctionnement grâce à cette application web :

Les bateaux sont placés aléatoirement au départ…
https://www.desmaths.fr/jeux/bataille/

Afficher les indices permet de vérifier plus rapidement que les élèves visent correctement (car la grille n’est pas totalement vide). Puis, les élèves sont invités à jouer deux par deux avec les grilles à imprimer que vous retrouverez en fin d’article. Cela marche plutôt bien et je peux circuler et observer pour vérifier que tout se passe bien. Parfois accompagner et ré-expliquer. Généralement, il faut que je prépare plus de photocopies car les élèves veulent pouvoir refaire des parties à l’extérieur…

Et pour stimuler leur envie d’entrainement à la maison, j’ai programmé un petit jeu de visée en utilisant les graphismes du mythique jeu Duck Hunt. Le but est de faire le meilleur score possible et de m’envoyer la preuve générée par l’application :

Aucun canard n’a été maltraité durant la conception…
https://www.desmaths.fr/jeux/duckhunt/

L’addition et la soustraction

Pour cette partie, je me base sur l’idée très originale d’Arnaud Durand (oui, encore lui…) avec sa bataille des relatifs. Je n’utilise pas sa vidéo car je préfère le faire en live au visualiseur (avec de vrais Meeples en tant que fan de jeux de société) et avec un élève chargé de faire les bruitages des combats. Ce n’est pas forcément nécessaire mais ça marque les esprits.

Sur le principe, j’ai plusieurs fonds plastifiés comme celui ci-dessous sur lequel je peux placer les Meeples et écrire au fur et à mesure. Voici un exemple (début et fin) de ce que cela peut donner :

Le champ de bataille au début…
Et son état après les hostilités…

Dès cette partie, on apprend à simplifier l’écriture des sommes car c’est relativement intuitif pour les élèves. Ils comprennent bien que (+3)+(–7) revient au même que d’écrire 3–7. À l’oral, on explicite bien la situation : « Ajouter le nombre –7, cela revient à soustraire 7 ».

Pour régler le cas de la soustraction, on peut encore utiliser le champ de bataille. Cela permet de leur faire comprendre que si l’on souhaite enlever 6 négatifs, il faut envoyer 6 positifs. On retient alors l’idée que –5–(–6) revient par exemple à faire –5+6.

Toutes ces étapes me permettent de les habituer à calculer des expressions du type (–2)+(–9) mais aussi à comprendre l’équivalence en écriture intuitive comme –2–9.

Les sommes algébriques

Mon objectif avec tout le travail précédent : pouvoir travailler les sommes algébriques sans l’utilisation de l’écriture alourdie par toutes les parenthèses (qu’ils ne rencontrent pas si souvent finalement).

Auparavant, je donnais l’écriture forcément de la forme (+5)–(–2)+(–9)–(+3) et je leur demandais d’appliquer la règle suivante : « on transforme toutes les soustractions en additions puis on peut supprimer les parenthèses et les signes + des additions (pas ceux des signes des nombres) ». C’est une règle « automatisme » mais elle ne laisse pas de place au sens. Les élèves ne la comprennent pas (transformation de toutes les opérations ou tentation en quatrième de l’appliquer sur des expressions qui ne sont pas des sommes algébriques). Bref, rien de mieux que l’utilisation du sens et de la logique pour simplifier l’écriture. Typiquement, face à l’écriture (+5)–(–2)+(–9)–(+3) [que je trouve pas du tout naturelle sous prétexte d’aider les élèves], on la lirait et on la transformerait petit à petit :

  • (+5) : c’est tout simplement 5 ;
  • –(–2) : on veut retirer 2 négatifs donc on ajoute 2 positifs : +2 ;
  • +(–9) : ajouter 9 négatifs revient tout simplement à soustraire 9 : –9
  • –(+3) : (+3) étant tout simplement 3, on a : –3

Et on obtient donc l’expression 5+2–9–3 qui est tout de même plus lisible. Et au final, pourquoi ne pas avoir déjà donné cette expression déjà plus naturelle : 5–(–2)+(–9)–3 ? Est-il vraiment utile d’utiliser la notation (+…) pour évoquer les positifs ?

D’ailleurs, lorsque les élèves produisent leurs propres expressions, ils vont au plus simple et tombent souvent sur une écriture simplifiée [qui s’embêterait vraiment à écrire –(+3) au lieu de –3 ?]. Ce sera aussi le cas pour les calculs avec priorités ; il y aura rarement ce genre d’écritures avec tous les nombres accompagnés de leurs signes…

Je n’ai pas encore parlé de la façon dont j’aborde la partie calculatoire. J’utilise des dominos pour cela (le fichier est toujours présent en fin d’article). Cela permet de bien comprendre la réécriture des sommes algébriques et les différentes astuces que l’on peut utiliser : annulation de deux termes opposés, ou de montrer les regroupements positifs et négatifs :

Expression algébrique de départ…
 « Relatifs, RASSEMBLEMENT ! »

Depuis que j’applique ces méthodes, je me sens 100% à l’aise avec cette grande partie qui est à enseigner en cinquième et j’ai l’impression que les élèves sont plus à l’aise avec la technique. Au final, je me suis rendu compte que demander l’application de règles de cours est une méthode certes très théorique et « automatique » mais elle ne laisse pas de place à l’intelligence de l’élève…

Alors, qu’en pensez-vous ? Et vous, quelles activités ou techniques avez-vous mis en place dans le cadre de cet enseignement des relatifs en cinquième ?

Lien vers les différents fichiers présentés

D’autres ressources partagées

Loïc Bodelot m’a contacté par mail pour partager un autre outil qu’il a conçu avec Juliette Hernando : le billard cartésien (réalisé sous Géogebra). Comme Loïc le dit si bien dans son mail : “Vive le partage !”. J’inaugure donc cette nouvelle partie dans l’article pour présenter les ressources externes interessantes :

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Celsius, le jeu de calcul mental enflammé

Il y a plusieurs jours, je contactais Eric Juban, créateur des jeux de Preference-Jeu.com, pour lui proposer de tester ses jeux dans le cadre de mon club maths au collège mais aussi pour les présenter librement ici (afin qu’ils puissent rejoindre les autres dans ma rubrique “Ludique”). Comme il a gentiment accepté et comme j’ai eu la joie de rouvrir mon club aujourd’hui, j’ai notamment pu me lancer dans le test du jeu Celsius.

C’est un jeu de cartes qui se joue de 2 à 4 joueurs en simultané. En partant d’une carte froide commune (les nombres compris entre 1 et 12), chaque joueur doit tenter d’obtenir le résultat de l’une des cartes chaudes qu’il possède (des nombres compris entre 20 et 100) en utilisant les 6 opérateurs que le hasard lui a attribué, dans l’ordre qu’il souhaite. A savoir, les points d’interrogation sur les cartes opérateurs (par exemple, “x ?”) représentent n’importe quel nombre entre 1 et 10.

Exemple de fin de manche après que les quatre joueurs aient joué

Le gagnant d’une manche est celui qui a utilisé le moins de cartes opérateurs et, s’il y a égalité entre plusieurs joueurs, c’est celui qui a posé la carte chaude la plus élevée.

Au début, chaque joueur possède six cartes chaudes mais ce nombre évolue au cours de jeu. En effet, à chaque manche, le perdant récupère la carte chaude gagnante dans son jeu (toutes les autres cartes chaudes jouées dans la manche étant défaussées). Pour chaque manche, on désigne comme perdant :

  • Le joueur qui n’a pas pu jouer s’il y en a au moins un ;
  • Le joueur qui a posé le plus de cartes opérateur sinon.
  • Cas d’égalité : si plusieurs joueurs n’ont pas pu jouer ou ont posé le même nombre de cartes opérateurs, c’est celui qui a le moins de cartes chaudes qui est désigné perdant. En cas de nouvelle égalité, c’est alors celui qui a posé la plus petite valeur qui est désigné perdant.

D’autres points de règles sont à appliquer lors des changements de manche :

  • on change la carte froide (même lorsque personne n’a trouvé) ;
  • on récupère des cartes opérateurs pour en avoir de nouveau six en main. Et si on a pas pu jouer dans la manche, on a droit à une carte opérateur supplémentaire.

Il faudra aussi se rappeler de deux règles spéciales :

  • Si un joueur a en main plus de 4 cartes opérateurs de réduction (rond bleu ou vert), il peut en défausser deux de son choix pour en piocher deux nouvelles, mais en contrepartie, il doit tirer une carte chaude supplémentaire.
  • A chaque fin de manche, les joueurs à qui il ne reste qu’une seule carte opérateur peuvent l’échanger contre une présente chez un adversaire (récompense gros calcul). Cet échange doit être fait avant de piocher les nouvelles cartes pour la manche suivante.

Le premier joueur n’ayant plus de cartes chaudes lui appartenant est déclaré vainqueur de la partie. Pour plus de simplicité et de clarté, vous pourrez évidemment retrouver la règle du jeu complète sur le site du jeu.

Durant la partie, les cartes sont toutes posées face visible sur la table (y compris les mains de chaque joueur) : ce n’est pas commun dans un jeu compétitif mais c’est intelligent pour permettre des discussions intéressantes entre élèves : “Ah tiens, j’avais vu que tu pouvais faire ça pour améliorer ton calcul…”. Les miens étaient d’ailleurs plutôt solidaires car ils n’hésitaient pas à s’entraider lorsque l’un d’entre-eux bloquait complètement.

Avec une règle très simple à comprendre, il faut souvent bien se creuser les méninges pour parvenir à obtenir la valeur de l’une de ses cartes chaudes en utilisant le moins de cartes opérateurs possible. Les élèves se retrouvent donc à effectuer de nombreux calculs mentalement sans vraiment s’en rendre compte… Et ça, pour un prof de maths, c’est plutôt chouette !

J’ai d’ailleurs envie de faire découvrir le jeu en classe entière en pré-sélectionnant une carte froide, des cartes chaudes et six cartes opérateurs. En affichant cela au vidéo-projecteur, il est ensuite possible de différencier l’objectif selon les élèves. Je pense notamment déjà à ceux-ci :

  • Niveau 1 : Relier la carte froide à l’une des cartes chaudes ;
  • Niveau 2 : Relier la carte froide à l’une des cartes chaudes en utilisant le moins de cartes opérateurs possible ;
  • Niveau 3 : Relier la carte froide à chacune des cartes chaudes en utilisant le moins de cartes opérateurs possible ;
  • Niveau 1+/2+/3+ : Transformer chaque programme de calcul obtenu en une seule expression…
Exemple de pré-selection pour permettre une recherche collective en classe

Dans l’exemple ci-dessus, j’ai vérifié manuellement qu’il était possible de rejoindre chacune des cartes chaudes à partir de la carte froide et des cartes opérateurs tirées au sort. Je me demande même s’il ne serait pas possible d’avoir un outil numérique qui permettrait de faire cette vérification automatiquement : on rentrerait nos cartes opérateurs, la carte froide et notre carte chaude et cela nous indiquerait si c’est possible et en combien de cartes au minimum (voire même le nombre de solutions possibles).

En résumé, je trouve que Celsius est un très bon jeu, accessible dès le cycle 3 (il suffira de retirer les cartes “élever au carré”) pour s’affronter de 2 à 4 autour du calcul mental. Le format est sympathique, peu encombrant, très rapide à mettre en place et à expliquer.

Autre idée, pour pallier aux mauvaises distributions liées au hasard, je verrais bien l’ajout d’une règle supplémentaire (qu’il faudra sans-doute reformuler) :

Lors d'une manche, si un joueur est certain de ne pouvoir rejoindre aucune de ses cartes chaudes, il peut l'annoncer aux autres en disant "Gelé". Si aucun des autres joueurs ne parvient à trouver une solution, il ne peut alors ni perdre ni gagner de cartes chaudes mais il peut changer tout ou partie de ses cartes opérateurs. Dans le cas contraire, il est forcément désigné perdant de la manche.

Si vous souhaitez vous procurer le jeu, vous pouvez vous rendre sur cette page du site Preference-Jeu.com. Il est donc possible de commander plusieurs jeux à la fois depuis le site internet officiel en payant en carte bleue ou en paiement administratif. Eric propose aussi ses jeux sur Amazon mais c’est tout de même plus sympa d’acheter en direct chez lui si vous le pouvez…

PS : Ce midi, nous avons aussi eu le temps de jouer au jeu 4.6.Suite et il fera sans doute l’objet d’un prochain article tout comme Radical-x (que j’ai exploré tout seul pour le moment). Honnêtement, je trouve ces trois jeux vraiment bien pensés pour faire pratiquer le calcul et je serais presque jaloux de ne pas en avoir eu l’idée moi-même… Il ne faut d’ailleurs pas se fier à leur petit format : personnellement, je préfère ça plutôt qu’avoir une boite standard à moitié vide avec thermoformage… Il faudra juste bien penser à imprimer (et à conserver) la règle du jeu depuis le site si on veut mettre les élèves en totale autonomie.

Etiquettes : Calcul ; Ludique ; Mathématiques
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Un générateur de grilles SquarO

Pour ceux qui ne connaissent pas encore, voici la règle de SquarO : il faut noircir un certain nombre de ronds blancs de sorte que le chiffre présent dans chaque case indique le nombre de points noirs qui l’entourent.

Ne trouvant plus le site d’origine du jeu (squaro.fr est étonnamment vide), j’ai programmé un petit générateur de grilles simples (aux formats 2×2, 3×3, 4×4, 5×5). En effet, compte tenu de la programmation actuelle, la résolution ne demandera jamais de poser des hypothèses. Par contre, le programme vérifie que chaque grille dispose d’une unique solution :

Exemple de grille générée de façon aléatoire

Il est possible ensuite de télécharger la grille et sa solution sous forme d’images mais aussi d’essayer de résoudre manuellement la grille directement sur le site en cliquant sur les différents points.

Voici donc le lien vers le générateur :

https://www.desmaths.fr/jeux/squarO/

Et pour ceux qui voudraient créer leur propres grilles et solutions (sans s’embêter avec le style graphique), j’ai aussi programmé une page qui permet de le faire :

https://www.desmaths.fr/jeux/squarO/make.html

Amusez-vous bien !

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