Lors des Journées Nationales de l’APMEP, j’ai eu l’occasion d’assister à l’atelier de Sylvain ETIENNE intitulé « Autour d’une feuille de papier ». De nombreux points ont été abordés (dont certains bonus qui n’apparaissent pas dans le sommaire) :
Plier en deux
Format de papier
Carré dans une feuille A4
D’ailleurs, et Pythagore ?
Octogone
Plier en trois
Pavé au milieu du cahier
Agrandissement et réduction
Nombre d’or
Triangles
Volume et pop corn
Périmètre
Papier toilette
Grâce aux documents mis à disposition par Sylvain, je vous propose un retour sur quelques moments forts de cet atelier.
Un format de papier très pratique
Une méthode simple pour retrouver le rapport entre la longueur et la largeur consiste à utiliser le rapport de réduction. En effet, si on souhaite que le ratio Longueur:largeur reste le même lorsque l’on plie la feuille en deux, cela signifie que le petit rectangle est une réduction du rectangle de départ. Or, son aire est divisée par 2. Cela implique donc forcément que ses longueurs sont divisées par \(\sqrt{2}\). En se concentrant sur les longueurs des deux rectangles, on obtient alors \(L=\sqrt{2}L_1\), soit \(L=\sqrt{2}l\).
Il est ainsi possible d’introduire une fonctions linéaire grâce aux différents formats de papier :
Plier une feuille A4 en 3
Quelle méthode pour plier parfaitement une feuille A4 en 3 afin de la faire rentrer dans une enveloppe ? Mise à part la méthode habituelle qui consiste à former l’accordéon du mieux possible… Il s’agit d’utiliser les ratios…
On voit apparaître un rapport de longueurs dans le ratio 2:1 dans le pliage en trois. Or, en pliant la feuille en 2, on obtient aussi deux longueurs dans ce même ratio (mais l’une est imbriquée dans l’autre). Il s’agit alors d’utiliser deux diagonales : l’une du rectangle de départ et l’autre de sa moitié. Le point d’intersection de ces deux diagonales indique où plier la feuille…
Un octogone dans une feuille A4
En suivant les indications de découpage, on obtient un octogone à partir du plus grand carré inscrit dans la feuille A4 comme par magie :
Une fois l’effet #Wahou passé (spécial dédicace à Manu H.), on se demande si cet octogone est régulier… Voici la vérification détaillée :
On a déjà vu que le rapport entre la longueur et la largeur d’une feuille A4 est de \(\sqrt{2}\). Ainsi, on obtient que la largeur de la bande retirée dans la longueur pour former le carré est de \(\sqrt{2}a-a\). Comme \(\sqrt{2}a-a\) est la longueur de la diagonale du carré de côté \(b\), on obtient alors que \(b=\displaystyle\frac{\sqrt{2}a-a}{\sqrt{2}}=a-\frac{\sqrt{2}}{2}a\). Reste à calculer la longueur du côté \(c\), pour voir si l’octogone est régulier : \(c = a-2(a-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}a)=a-2a+\sqrt{2}a=\sqrt{2}a-a\). Comme la longueur de tous les côtés est de \(\sqrt{2}a-a\) alors cet octogone est bien régulier.
Un tétraèdre régulier en origami
Il s’agissait ici d’obtenir un triangle équilatéral par pliage puis, par extension, un joli tétraèdre régulier. Cela m’a rappelé ma séance d’inspection pour la titularisation car c’est l’activité que j’avais mené en seconde… Comme j’ai perdu ma version du tutoriel video, en voici un autre déniché sur Youtube :
Vous trouverez aussi une fiche proposée par Sylvain sur son site.
Volume et pop-corn
Nous avons aussi évoqué cette activité proposée par Dan Meyer au sujet du calcul de volumes (à partir d’une feuille de papier) :
Cela m’a fait sourire car j’avais l’impression de voir un problème Dudu… J’imaginais très bien les amis Arnaud et Julien faire la même scène au petit déjeuner le matin…
The fold and cut theorem
Je ne connaissais pas ce théorème mais il est vraiment puissant et intriguant : « il est possible de couper d’un seul coup de ciseau rectiligne n’importe quel polygone une fois qu’il a été plié de la manière adéquate ! ». Ce théorème a été démontré par Erik Demaine, Martin Demaine et Anna Lubiw en 1999 et ces derniers ont même publié un algorithme qui permet d’obtenir la carte des plis d’un polygone choisi.
Lors de l’atelier, nous l’avons fait pour le triangle équilatéral et il faut avouer que ce n’est pas difficile grâce à ses trois axes de symétries :
Sur le site d’Erik Demaine, on trouve des cartes de plis de polygones beaucoup moins symétriques et donc beaucoup plus impressionnants :
Conclusion
L’atelier proposé par Sylvain ETIENNE était vraiment très interessant et je n’ai évoqué ici qu’une partie de ce que nous avons abordé… Je suis vraiment content d’y avoir participé !
Cette question est celle qu’a posé Michèle AUDIN pour sa conférence d’inauguration lors des Journées Nationales de l’APMEP. Cette conférence m’a particulièrement touché car la réponse apportée est poétique.
Cette présentation, que je vais tenter de retranscrire au mieux par la suite, a présenté une partie du travail des Oulipiens et des Oulipiennes et je me suis senti dans mon élément à voir ces personnes utiliser les mathématiques pour écrire… Je me suis retrouvé dans l’exercice de style que je m’imposais parfois sans le nommer…
Avec cette conférence, Michèle AUDIN nous a présenté des extraits du manuel de l’Oulipo ; l’abécédaire passionnément définitif. Et il faut dire qu’on va sûrement aller l’acheter avec ma chérie car elle s’est justement engagée dans le projet « Twoulipo » avec sa classe. Cette conférence tombait à pic pour bien comprendre l’esprit qui anime l’Oulipo…
Aussitôt présenté, aussitôt acheté…
A comme Acronyme
OULIPO est l’acronyme de « OUvroir de LIttérature POtentielle ». Pour expliquer au mieux ce qu’est l’OULIPO, Michèle a pris l’exemple du sonnet (qui existait bien avant). L’Oulipo va donner des règles à respecter que l’écrivain suivra ensuite. Pour le sonnet, on peut résumer les règles ainsi :
Le sonnet est un poème de 14 vers répartis sur quatre strophes. Les deux premières contiennent chacune quatre vers construits dont les rimes suivent le schéma ABBA… Les deux dernières strophes contiennent chacune trois vers dont les rimes suivent le schéma CCD EDE.
On voit ici que l’on a écrit aucune littérature mais on a posé les bases qui vont permettent ensuite aux écrivains de produire leurs textes. C’est cela l’esprit de l’Oulipo : jouer avec les règles pour permettre des exercices de style dans l’écriture… L’Oulipo a par ailleurs été fondé en 1960 par Raymond Queneau (auteur de « Exercices de style » et « Cent mille milliards de poèmes« ) et François Le Lionnais.
En écrivant cet article, je ne peux m’empêcher de penser à mes collègues de français et professeure documentaliste pour qui les mathématiques demeurent un mauvais souvenir (« la bête noire ») alors qu’elle est la base de nombreux écrits…
B comme Boule de neige
Une boule de neige de longueur n est un poème dont le premier vers est fait d’un mot d’une lettre, le second d’un mot de deux lettres, etc…. Le n-ième vers a n lettres. Une boule de neige fondante commence par un vers de n lettres, après quoi le nombre des lettres diminue d’une unité à chaque vers. Il existe des boules de neige métriques (Victor Hugo : les Djinns) ou des boules de neige de mots comme celle qui nous a été présentée :
Ensemble. Nous deux. Toi et moi. Nous pourrions nous aimer. Nous désirer et nous enlacer. Si tu voulais nous nous aimerions. Ou bien nous resterions indifférents. Sans émoi sans effroi. Toi ou moi. Tous deux. Seuls.
Il s’agit d’écrire un texte dont l’histoire va décrire une figure géométrique. Nous avons eu droit à une histoire potagère qui décrit le triangle et ses médianes, reproduite ci-dessous :
Or, il y avait une fois, et c’était au printemps, une carotte nommée Julie, un poireau appelé Hercule et une pomme de terre qui répondait (quand on l’appelait) au prénom de Charlotte. Ils vivaient aux trois bouts d’un jardin potager, dans la plus grande amitié avec beaucoup d’autres légumes. Hercule et Charlotte se rendaient souvent chez le célèbre corniste Roland (un laurier), qui vivait à mi-chemin de chez eux et avec qui ils faisaient de la musique de champ. Charlotte jouait aux petits chevaux avec Julie et un beau céleri du nom de Cédric. Julie et Hercule se rencontraient parfois, le soir, à la sortie du rang de petits pois, pour aller boire un sirop d’orgeat chez Ciboulette, « c’est gai, c’est vif, ça pirouette », chantonnait celle-ci. Tout allait donc pour le mieux dans le meilleur des potagers possibles. Mais voilà qu’un beau jour (enfin, pas si beau que ça), Hercule et Cédric avaient mal au dos et, sur le conseil de leur médecin, se rendirent à la piscine centrale, où l’on venait d’ouvrir un jacuzzi. Ciboulette et Charlotte avaient décidé, chacune de son côté, d’aller faire un tour à vélo et, constatant l’inclémence du temps (à vrai dire, il pleuvait des trombes d’eau), changèrent brutalement, mais sagement de programme. Au même moment, coïncidence troublante, Roland partit se promener au hasard des sillons et Julie entama son jogging dominical (malgré la pluie), elle courait vers Roland, mais elle allait deux fois plus vite. De sorte que ce jour-là, au moment précis où les quatorze coups de midi sonnaient au clocher de Sainte-Gudule, poireau, carotte et pomme de terre, avec céleri, laurier et ciboulette, se retrouvèrent tous ensemble dans l’eau bouillonnante. Et une soupe de légumes bien chaude au déjeuner, lorsqu’il pleut des cordes, c’est vraiment bon.
Certaines syllabes communes à plusieurs mots peuvent être mises en facteur commun afin d’éviter leur répétition. Voici un exemple extrait du dictionnaire oulipien :
Pi
(Je me sens fla- Car mon amie est une chi- Et que je n’ai pas fait ma kinésitéra- Je vais me faire un petit géné- Et une petite pomme d’A- Qui me donneront un moment de ré- Parfois je surchauffe sous le ké- Je vais me retirer sous mon ti- Au bord de mon Mississi- Assis sur mon ta- C’est une bonne théra- Qui vaut une thalassothéra- C’est mon moment de ré- Avant ma séance de touche pi-)π
Paul Fournel (2014). OULIPO L’Abécédaire provisoirement définitif
J’ai tenté d’écrire ma propre mise en facteur commun au sujet des journées nationales de l’APMEP (avant tout pour m’amuser) :
(Pour mettre en valeur les mathéma- Rejoignez des collègues loin des cri- Pour des conférences ludiques et poé- Avec des petites touches humoris- Dans des lieux agréables et pra- Pendant quatre journées fréné-
Durant ces moments hypno- Retrouvez grâce à de superbes logis- Des intervenants vraiment charisma- Partageant leurs approches didac- Mais aussi des exposants embléma- Pour de beaux achats dans leurs bou-
Bref, nul besoin de faire de grandes statis- Pour savoir que ces journées sont fantas-)tiques
@DesmathsFr
S comme Sextine et compagnie
A l’origine, la sextine est inventée au XIIIe siècle par le troubadour Arnaut Daniel. Adoptée par Dante et Pétrarque, elle a été employée, jusqu’à nos jours par de nombreux poètes. On choisit d’abord six mots-clefs ne rimant pas. Le poème se compose de six strophes de six vers, qui se terminent par un des six mots-clefs.
Il s’agit alors d’écrire chaque strophe en permutant les six mots-clefs de façon spiralaire :
Ainsi, de l’ordre 1,2,3,4,5,6 on passe à l’ordre 6,1,5,2,4,3 en suivant la spirale et ainsi de suite… En voici un exemple que j’ai écrit spécialement en guise de remerciement pour l’APMEP :
Tout commence par ton adhésion à l’APMEP Pour une durée précise de 365 journées ; Avec un peu d’argent que tu partages, Tu pourras trouver beaucoup d’idées Face aux problèmes que tu rencontres Dans l’enseignement des mathématiques…
Tu recevras des publications mathématiques Envoyées avec passion par l’APMEP ; Les articles comme de belles rencontres Accompagneront tes longues journées En remplissant ton esprit de nouvelles idées ; Si bien qu’avec tes élèves, tu les partages…
Si tu recherches encore plus de partages Avec la communauté des mathématiques Je vais te confier la meilleure des idées : À la fin de l’été, va sur le site de l’APMEP Et inscris-toi pour participer à leurs journées En notant bien le point de rencontres…
Comme tous, voilà le dilemme que tu rencontres : Choisir conférences et ateliers pour les partages Du planning des trop courtes journées, Ébahi par la liste de ces passionnés de mathématiques Qui ont généreusement accepté pour l’APMEP De venir présenter leurs meilleures idées…
Comme une gigantesque boite à idées, Tous ces collègues que tu rencontres Lors des journées nationales de l’APMEP, Du matin avec le café que tu partages Jusqu’à l’atelier où tu fais des mathématiques Enchanteront forcément tes journées…
Ah, qu’elles étaient belles ces journées ! Tellement de nouvelles et brillantes idées… Tellement d’amour pour les mathématiques… Tellement de sympathiques rencontres… Merci à tous les intervenants pour leurs partages Et merci aussi à tous les bénévoles de l’APMEP !
@DesmathsFr (2021). Twitter
Ce qui est mathématiquement beau, c’est qu’on obtient 6 ordres différents pour les 6 strophes alors que ça ne fonctionne pas avec 4 strophes de 4 vers et 4 mots clefs par exemple. C’est pour cela que les Oulipiens ont créé et étudié ce qu’ils ont appelé les nombres de Queneau.
C’est aussi possibles avec trois strophes de trois vers en utilisant trois mots-clés comme le montre cet exemple présenté lors de la conférence :
Ce triangle a trois côtés Il possède aussi trois angles Est-il équilatéral ?
S’il est équilatéral Égaux sont ses trois côtés Égaux sont ses trois angles
Mais pourquoi compter ses angles ? Il est équilatéral Dès qu’égaux sont ses côtés
Jacques Roubaud
X comme X prend Y pour Z
On représente cette relation ternaire comme une multiplication, xy=z, dont on se donne la table. Une table de multiplication étant donnée a priori, on peut utiliser d’autres prédicats : x complote avec y contre z, par exemple. Les propriétés algébriques de la multiplication choisie s’interprètent en événements d’un récit.
Z comme Zeugme
Le zeugme est la figure de rhétorique (fautive mais) irrésistible que l’on définit d’ordinaire en en donnant facilement un exemple :
Je t’écris avec amour et un stylo
On en a vu un très joli visuel d’Etienne Lécroart (« J’ai tiré ») que j’aurais aimé partagé ici mis que je ne retrouve pas… Claire a réussi à en capter une portion visible ici sur son blog… J’adorerais que l’auteur le mette à disposition si, par hasard, il me lisait…
En conclusion…
Merci à Michèle AUDIN pour cette chouette conférence et à tous les Oulipiens plus généralement pour le travail qu’ils fournissent. De nombreuses définitions sont copiés de leur excellent site. L’ayant entre les mains, je ne peux qu’encourager tout le monde à se procurer l’abécédaire de l’Oulipo précédemment évoqué… C’est une vraie mine d’or ! Et maintenant, j’ai encore plus hâte de faire l’atelier d’Olivier Longuet sur l’Oubapo…
Depuis que j’ai trouvé le temps et l’abécédaire (#zeugme), cet article est désormais provisoirement définitif (ou définitivement provisoire si vous préférez)…
Comme j’ai adoré cet atelier proposé dans le cadre des journées virtuelles « En attendant Bourges » de l’APMEP, je souhaite partager ici ce que j’y ai appris… Tout d’abord, voici la fiche de présentation de l’atelier « Quelle drôle de prison », proposé par Arnaud Chéritat, mathématicien, directeur de recherche au CNRS Institut de mathématiques et vice président de « Les Maths en Scène » :
La situation est donc la suivante :
« La fenêtre d’une prison est composée de 4 barreaux. Le prisonnier doit s’y attacher en passant autour des différents barreaux de son choix (et autant de fois qu’il le désire) tant qu’il est réellement attaché au final. Puis, vient le gardien qui va scier l’un des quatre barreaux… Le but étant de réussir à trouver une situation qui entrainera la libération du prisonnier peu importe le barreau scié… »
Photo provisoire, en attendant quelque chose de meilleure qualité…
Après avoir expliqué rapidement le principe, Arnaud a introduit les notations que l’on pouvait utiliser pour modéliser la situation. Il s’agit alors de nommer chaque barreau par une lettre (A, B, C ou D) et de noter les lettres correspondantes dans une phrase à chaque fois que la chaîne passe derrière le barreau correspondant. On ajoute aussi une flèche au dessus de la lettre en fonction du sens de passage de la chaîne. Par exemple :
Il est parfois possible de simplifier la phrase modélisée (comme le noeud se simplifiera dans la réalité). En effet, le fait de passer derrière un barreau dans un sens puis immédiatement ensuite dans l’autre sens ne crée pas de noeud. On peut donc chercher cette situation dans la phrase modélisée pour la simplifier :
On constate ainsi ici que si l’on supprime le barreau B de la prison, le prisonnier sera libéré car on obtiendra alors la situation d’annulation avec le barreau A… Voici un autre exemple donné par Arnaud sur une phrase plus longue au départ :
Enfin, Arnaud a expliqué comment trouver mathématiquement les « noeuds magiques », c’est à dire les noeuds qui permettent d’être libéré à coup sûr peu importe le barreau supprimé par le geôlier.
Dans le cas à deux barreaux, il suffit de passer autant de fois dans les deux sens derrière le barreau A et autant de fois dans les deux sens derrière le barreau B. Voici un exemple possible de noeud garantissant la libération du prisonnier :
Pour la solution à trois barreaux, Arnaud a introduit les « commutateurs » :
Enfin, en suivant la même méthode, on peut construire une solution au problème pour quatre barreaux : [D, [C, E]] qui contient 22 passages. Cependant, la solution qui demandera le moins de passages (16 exactement) est la suivante : [[A, B], [C, D]] :
Un grand merci Arnaud, Les Maths en Scène plus généralement et l’APMEP pour cet atelier auquel j’ai assisté par curiosité mais que j’ai trouvé tout simplement excellent ! Je n’ai plus qu’une envie, fabriquer cette prison pour faire l’activité avec les élèves… mais, n’étant pas bricoleur, je ne garantis pas qu’elle sera aussi belle que celles que nous avons vu !
En parcourant le dernier bulletin de l’APMEP (Au fil des maths n°537), je me suis fortement intéressé à l’article d’Olivier Garrigue intitulé « La magie des azulejos » (les abonnés pourront le retrouver sur ce lien). L’article présente les travaux de l’IREM d’Aix-Marseille sur les azulejos qui ont été rendus possibles grâce à l’étude mathématique et pédagogique préalable de Jorge Rezende.
Dès que j’ai vu l’article, j’ai été fasciné et j’ai souhaité proposer un devoir facultatif aux élèves de cinquième dans lequel ils devraient dessiner leur propre azulejo. Les élèves n’ayant pas suivi le parcours d’étude proposé par l’IREM, je devais trouver un moyen simple d’expliquer ce qu’était un azulejo et comment le construire (de façon concise)…
Mon premier essai en faisant passer les pièces du jeu de société Azul (qui ont le défaut d’être trop symétrique), en vidéo-projetant les différents exemples mis à disposition par l’IREM et en expliquant les différentes contraintes fut un échec cuisant. La tâche leur a paru trop difficile et seuls quelques uns s’y sont intéressés. Profitant du week-end (sic), j’ai donc décidé d’éditer un document plus complet pour donner les consignes et pour aider les élèves dans la phase de construction :
La page de consigne…Et la page de construction…
La première page a pour objectif d’expliquer ce qu’est un azulejo tout en donnant un exemple et en expliquant les grandes lignes de la construction… Grâce au gabarit que j’ai créé pour l’occasion, les élèves peuvent créer leur motif de couleurs sur les bords de l’azulejo et mieux s’organiser pour les constructions internes. Ils devraient voir plus facilement quand la continuité n’est pas respecté…
Le garabit de 14 cm sur 14 cm (pour un azulejo de 12 cm sur 12 cm)
Je rends les fichiers de cette première version disponibles (en cas d’erreurs, n’hésitez pas à m’en informer) :
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